奥古斯坦-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）是现代的第一个伟大的法国数学家，他于1789年8月21日出生在巴黎。现代数学中两个很令人感兴趣的问题应归功于柯西。第一个是把严格性引进了数学分析。在引进严格性之前，数学分析就是整整一座谬误之神的万神殿。在这方面，柯西与高斯、阿贝尔一起，是伟大的先驱者。正是柯西，使人们接受了数学分析中的严格性。
柯西给数学增添的第二个具有根本重要性的东西，是组合方面。柯西抓住了拉格朗日在方程理论上的方法的核心，把它抽象化，开始了群论的系统创建。
在柯西以前，很少有人在纯粹代数运算方面找到有价值的发现。柯西看得更深一些，他在代数公式的对称性方面，看出了运算和它们的组合规律，把它们独立出来，由此导致了群论。今天，群论在纯数学和应用数学的许多领域，从代数方程到几何和原子结构的理论，具有根本的重要性。只须提到它的一项应用就足以说明，它是晶体几何学的起因。晶体几何学后来的发展远远地深入到高等力学和微分方程的现代理论之中。
拉普拉斯第一次见到年轻的柯西，很快就发现这孩子有着非凡的数学才能。不出几年，拉普拉斯就要忧心忡忡地听柯西关于无穷级数的演讲，担心这个年轻人在收敛方面的发现会摧毁他自己的天体力学这整座大厦。
1800年1月1日，老柯西被选为上院秘书，他的办公室在卢森堡宫。年轻的柯西也同他合用这间办公室。这样一来，他就常常会看到拉格朗日，当时拉格朗日在综合工科学校任教授。不久，拉格朗日就对这孩子产生了兴趣，像拉普拉斯一样，被他的数学才能深深打动了。一次，当拉普拉斯和其他几个知名人士在场时，拉格朗日指着在角落里的年轻的柯西说，"你们看见那个瘦小的年轻人吗？他将取代我们大家。”
柯西在大约13岁时进了庞特昂的中心学校，拿破仑在这所学校设立了几个奖学金，还有一种全法国所有学校同一年级的大奖赛。柯西从一开始就是学校里的明星，获得希腊文、拉丁文作文和拉丁诗的头奖。他在1804年离校时，赢得全国大奖赛和一项古典文学特别奖。
随后的10个月，他在一位很好的导师指导下对数学作深入细致的研究。1805年，他16岁时以第二名的成绩考入了综合工科学校。1807年柯西从综合工科学校转到土木工程学校。虽然他只有18岁，但很快就超过了已经入学两年的20岁的年轻人，而且很早就被校方注明是要担任特殊职务的。1810年3月柯西完成了学业，立即被委派了一项重要的职务。
柯西离开巴黎，前往瑟堡第一次赴任。这时距离滑铁卢之战还有5年的时间，拿破仑仍然信心十足地期待着从海上占领英国。年轻的柯西被派往瑟堡，去成为一名伟大的军事工程师。在柯西不多的行李中，只带了4本书，拉普拉斯的《天体力学》、拉格朗日的《解析函数理论》、坎普滕的托马斯的《效法基督》，和一册维吉尔的作品，这对一个雄心勃勃的青年军事工程师真是一种不寻常的搭配。
柯西在瑟堡逗留了大约3年。在他繁重的本职工作以外， 柯西把数学的各个分支从头到尾再温习一遍，从算术开始，到天文学为止，把模糊的地方弄清楚，应用自己的方法去简化证明和发现新的定理。
1812年在莫斯科的惨败，对普鲁士和奥地利的战争，以及1813年10 月莱比锡战役的彻底失败，这一切都分散了拿破仑的注意力，使他不能专心于侵略英国的梦想，在瑟堡的工作也就进行不下去了。1813年柯西回到巴黎，因为工作过度而精疲力竭。他当时只有24岁，但是已经以他光辉的研究工作，特别是关于多面体的论文和关于对称函数的论文，吸引了法国主要数学家们的注意。由于多面体和对称函数的性质都很容易理解，而且各自都对今天的数学提供了极为重要的启示，我们将简单地叙述它们。
1811年2月，柯西提交了他的第一篇关于多面体的论文。这篇论文对普安索提出的问题“除了那些有4、6、8、12、20面的正多面体，还有可能存在其他正多面体吗？"作了否定的回答。在这篇论文的第二部分，柯西扩展了欧拉的公式，把多面体的边数（E）、面数（F）和顶点（V）联系在一起，E＋2=F＋V，这个公式可以在中学立体几何教科书中找到。
这篇论文印出来了。勒让德对它评价很高，鼓励柯西继续做下去，柯西又写了第二篇论文（1812年1月）。勒让德和马吕是评阅人。勒让德很热心，预言这位年轻作者将做出伟大的工作。
柯西在证明他的一些最重要的定理时，用了"间接法"。而马吕反对的正是这种证明方法。在用间接法证明一个命题时，是从假定命题不成立推出一个矛盾；因此根据亚里士多德的逻辑，就得知命题成立。柯西无法用直接方法达到目的。马吕让步了，但仍然不能信服柯西证明了什么。如果说马吕没有能在1812年使柯西了解这个要点，布劳威尔在1912年及那以后为马吕做到了，布劳威尔成功地使柯西在数学分析方面的一些后继者们，至少看出了确实有一个需要明了的要点。正如马吕试图告诉柯西的，亚里士多德的逻辑在数学推理中并不总是一个可靠的方法。
我们顺便提一下置换理论。这是由柯西系统地开始，又由他于19世纪40年代在一系列文章中详尽阐述的理论，后来发展成有限群论。下面我们就用一个简单的例子来说明它的基本概念。不过先要非正式地说说运算群的主要性质。
运算用大写字母A，B，C，D，…表示，两个运算连续进行，比如说A先B 后，就用并列表示，即AB。注意，BA意味着先完成B，后完成A；所以AB和BA并不一定是同样的运算。如果两个运算X和Y的效果是一样的，就说X和Y相等，用X=Y表示。
下一个基本概念是结合性。如果对一个集合中的每三个运算，比如说U，V，W，是任意三个运算，（UV）W=U（VW），就说这个集合满足结合律。
最后一个基本概念是恒等运算，或者恒等式：不管实施到什么上都不产生改变的运算I，称为恒等式。
有了这些概念，我们就能说明定义一个运算群的简单公设。如果一个运算的集合I，A，B，C，…，X，Y…满足公设（1）—（4），就说它形成一个群。
存在一个组合规则，可应用到集合中的任何一对运算*X，Y，使得按该组合规则结合X，Y的结果（按此次序记为XY），是该集合中一个唯一确定的运算。
对于集合中的任意三个运算X，Y，Z，（1）中的规则是可结合的，即(XY)Z=X(YZ)。
集合中有一个唯一的恒等式I，使得对集合中的每一个运算X，IX=XI=X。
如果X是集合中的任一运算，集合中有唯一的一个运算，比如说X'，使得XX'=I。
为了说明一个群，我们采用一个与字母排列有关的非常简单的例子。这个例子看上去可能没有什么意思，但是人们发现这样的排列或置换群，是长期寻找的方程的代数可解性的线索。
a，b，c三个字母可以准确地用6种次序写出来。取其中的任何一个，比如说第一个abc，作为初始次序。通过什么样的字母置换，我们能从这个次序过渡到其余5种排列呢？从abc到acb，只要置换b和c就够了。表明交换b和c的运算，我们写为（bc），读作“b到c，c到b”。我们通过a到b，b到c，以及c到b，从abc过渡到bca，这记为（abc）。abc本身的次序是从abc不经过任何改变得到的，即a到a，b到b，c到c，它是恒等置换，记为l。对6个次序
同样地继续进行下去，我们得到了相应的置换，
在这里，公设中的"组合规则"如下。任取两个置换，比如说（bc）和（acb），考虑这些按所说的顺序依次应用的结果，即先（bc）后（acb）：（bc）把b变到c，然后（acb）把c变到b。这样b仍在原来的位置。取（bc）中的第二个字母c：由（bc），c被变到b，由（acb），b被变到a；这样c被变到a。继续下去，我们看到a现在变成：（bc）使a仍在原处，但是（acb）把a变成c。那么最后（bc）跟着是（acb）的结果，就是（ca），我们用
表示。用同样的方法很容易证明
等等，直到所有可能的每一对为止。这样，公设（1）对所有这6个置换是满足的，可以验证（2）、（3）、（4）也满足。
所有这些都汇总在群的"乘法表"中，我们用下面一行字母表示置换，来写出这个表，
在读这张表时，从左边的列任取一个字母，比如说C，从顶上面的行任取一个字母，比如说D，那么对应的行和列的交点处的表值就是CD的结果，这里是A。这样，CD=A，DC=E，EA=B，等等。
举一个例子，我们可以就（AB）C和A（BC）证明结合律，它们应当相等。首先，AB=C，因此（AB）C=C=I。再有BC=A；因此A（BC）=AA=I。同样的方法可以证明A（DB）=AI=A；（AD）B=EB=A；这样（AD）B=A（DB）。
一个群中互异运算的总数叫做它的阶。这里群的阶是6。通过检查这张表，我们可以挑出几个子群，例如，它们各自的阶是1，2，3。这解释了柯西证明的一个基本定理：任何子群的阶都是该群的阶的因子。
读者会发现，试着构造阶不是6的群是很有趣的。对于任意给定的阶，互不相同的群（有不同的乘法表）的数目是有限的，对于任意给定的阶（一般的阶n），这个数可能是什么还不知道——在我们的一生中也不大可能知道。所以在一个表面上像多米诺理论那么简单的理论的一开始，我们就碰上了未解决的问题。
我们已经构造了群的“乘法表”，现在忘掉它是从置换中导出的，而把这个表看作定义了一个抽象群。那就是说，不给I，A，B，…除在CD=A，DC=E等组合规则中所隐含的意义以外的解释。这种抽象的观点是现在流行的观点。它不是柯西的，但是由柯西在1854年采用的。直到20世纪的最初10年为止，也没有提出一组完全令人满意的群的公设。
当一个群中的运算被解释为置换，或刚体的旋转，或在群可以应用的任何其他数学领域中时，这种解释就被称作由乘法表定义的抽象群的一个实现。一个给定的抽象群可以有很多种不同的实现。这是群在现代数学中具有根本重要性的原因之一：同一个群的一个抽象的、基本的结构（概括在乘法表中），是几个表面上无关的理论的本质，由于对抽象群性质的深入研究，对这些理论和它们的相互关系的认识，就由一次研究而不是几次研究得到了。
我们只举一个例子，也就是一个正二十面体绕其对称轴自转，使得任意一次旋转后，该立体的体积与以前占有同样的空间，这样的全体旋转的集合形成一个群，当抽象地表示这样一个旋转群时，与我们试图解一般的五次方程时在根的置换下出现的群是同样的。
而且同一个群也在椭圆函数（非常重要的一类函数）的理论中出现。这暗示着虽然不可能从代数上解一般五次方程，但是按照所提到的函数，方程可能实际上是解的。最后，所有这些都能通过描述二十面体，在几何上画出来。这个美妙的统一是费利克斯·克莱因的贡献，出现在他关于二十面体的书中。
柯西是置换群理论的一位伟大的先驱者。自从他那时以来，在这个课题上已经做出了大量的工作，这个理论本身已经大大发展了，其后是无限群———能用1，2，3，…来数的无穷多个运算的群，再进一步发展到连续群。在连续群中，运算通过无穷小位移把一个物体移到另一个位置（与上面描述过的二十面体群不同，那时自转把整个物体转动一个有限量）。这只是无限群中的一类（这里的术语是不确切的，但足以说明重要的一点——离散群和连续群之间的区别）。正如有限离散群理论是代数方程理论的基本结构一样，无限连续群在微分方程理论中也有很大作用。所以柯西在摆弄群时，并不是在虚度时光。
为了结束对群的这段描述，我们可以指出柯西讨论的置换群是怎样进入原子结构的现代理论的。一个在其符号中恰好包含两个字母的置换，比如说（xy），称为一个对换。任何置换都是对换的组合，这是容易证明的。例如：
由这个例子，以对换的形式写出任何置换的规则就很显然了。
现在，假定一个原子中的电子都是相同的。因此，如果交换一个原子中的两个电子，原子保持不变。为简单起见，设原子恰好包含三个电子，比如说a，b，c，使原子保持不变的电子的所有交换，对应于在a，b，c上的置换群（我们给了乘法表的那一个群）。从这里到由原子构成的受激气体发出的光谱线，似乎还有很大一步距离，但是这一步已经迈出了。一些量子力学专家在置换群理论中给光谱（以及与原子结构有关的其他现象）的阐明找到了令人满意的基础。柯西当然没有预见到他发展起来的理论会有这样的应用，他也没有预见到它会应用到代数方程的未解之谜上（一般5次方程）。那个功绩得留待一个十几岁的孩子（阿贝尔）去完成。
柯西到27岁时已经上升到当时的数学家的最前列。他唯一的重要竞争对手是高斯，比他年长12岁。柯西1814年的关于复数极限的定积分的论文，开始了他作为单复变量函数理论的伟大事业。关于专业术语，高斯在1811年已经得出了基本定理，比柯西早3年。柯西关于这个题目的极为详尽的论文直到1827年才发表。推迟的原因可能是由于文章太长——大约180页。
1815年，柯西由于证明了费马留给困惑的后代的一个伟大定理而引起了轰动，这个定理是：每一个正整数都是3个"三角形数"、4个“四边形数”、5个“五边形数”、6个“六边形数”等等的和。在每一种情形，零都算在所说的那一类数中。一个“三角形数”是数字0，1，3，6，10，15，21，…中的一个，这些数是由用点建立的正三角形组成的：
“正方形数”也有类似的构成：
其中，借以从前一个正方形得到的正方形的"边界"是明显的。同样，"五边形数"是由点建立的正五边形；"六边形数"及其他的数亦与此类似。这是不容易证明的。事实上，欧拉、拉格朗日和勒让德都没有证明它。高斯早先证明了“三角形数”。
柯西没有局限于纯数学的第一流工作，他接着赢得了科学院的大奖（1816年），题目是“不定深度的重流体表面的波的传播理论"。就数学处理而言，海浪与这种类型很相近。这篇论文最后长达300多页。柯西27岁被推向科学院院士的席位（但没有空缺位置，被蒙日占着），这是柯西一生的顶点。
自从26岁起，柯西一直在巴黎综合工科学校讲授分析学。现在他成了教授，不久又被法兰西学院和索邦大学任命为教授。他的数学活动是令人难以置信的；有时候在一周内，科学院会收到他两篇很长的文章。除了他自己的研究工作以外，他还起草了难以数计的关于其他人投给科学院的论文的报告，并挤出时间来写了关于数学（纯数学和应用数学的）所有分支的几乎是源源不断的短文。对于欧洲数学家，他变得比高斯还要著名。学者们和学生们都来听他对他正在发展的新理论，特别是分析学和数理物理学中的新理论的美妙清晰的讲解。他的听众中有来自柏林、马德里和圣彼得堡的著名数学家。
柯西在1818年同阿洛伊斯·德比雷结婚，共同生活了将近40年。这个时期有一项伟大的工作值得注意。在拉格朗日和其他一些人的鼓励下，柯西在1821年详细写出了他在综合工科学校讲过的分析学教程以供出版。这部著作提出了长期的严格性的标准，甚至在今天，柯西这本教程中给极限和连续下的定义，以及他写的关于无穷级数收敛性的许多内容，仍然可以在任何一本微积分学书中找到。从前言中摘出的一段，可以说明他所想到的和他所完成的：
我竭力赋予这些（分析的）方法以几何中所要求的全部严格性，做到决不涉及从代数的一般原则中抽出的推理。（就像今天所说的，代数的形式主义）这一类推理，虽然广为承认，但主要是在从收敛级数到发散级数，从实量到虚量的过程中得来；在我看来，不能认为它是什么超出归纳法的东西，它有时暗示着真理，但是它与数学引以为豪的严格性没有什么一致的地方。我们也必须注意到，它们倾向于造成一种据认为是代数公式所有的、模糊的有效性。而实际上，这些公式大多数只在某些条件下对它们包含的量的某些值有效。通过决定这些条件和值，通过精确确定我所用的记号的意义，我将消除一切不确定性。
柯西的创作能力是如此之大，以至于他不得不创办一个他自己的杂志《数学练习》（1826—1830），第二辑以《分析数学与物理练习》为名，发表他在纯数学和应用数学方面的评论性和独创性的著作。这些著作对1800年以前的数学风格作了很大的改革。有一个例子说明柯西的惊人的活动力。1835年科学院开始出版它的周刊。这对柯西来说是一个未开垦的倾销园地，他开始以短论和长篇专题报告塞满这个新的出版物——有时候一周不止一篇。科学院对迅速堆积的付印单感到震惊，于是通过一项规定，禁止刊登超过10页的长文章。这束缚了柯西，他那些较长的论文，包括一篇长达300页的关于数论的伟大论文，是在其他地方发表的。
1830年的革命把查理赶下了台。他曾经庄严宣誓效忠查理，而对于柯西，发了誓就得遵守。柯西在40岁的时候，放弃了他的所有职务，自愿去流放。柯西把家人留在巴黎，但并未辞去在科学院的职位，他先去瑞士，在那里，从科学会议和研究工作中寻求慰藉。不久，比较开明撒丁国王查理·阿尔贝特，听说了有名的柯西没有工作，就为他安排了一个工作，在都灵任数理物理学教授。柯西非常高兴。他很快学会了意大利语，并且用这种语言讲课。
1833年，柯西受托负责查理的继承人、13岁的波尔多公爵的教育。尽管几乎不断地照料着他的学生，柯西还是设法进行他的数学研究，不时地冲进他的私人住处，匆匆忙忙地写下一个公式，或者很潦草地胡乱涂上一段。这个时期给人印象最深刻的工作，是关于光的色散的长篇论文。柯西试图在这篇论文中，根据光由一个弹性固体颤动而产生的这一假设，阐明色散现象。
1838年柯西（将近50岁）摆脱了他的学生，回到了巴黎并恢复了他的在巴黎的职位。现在他的数学活动比以往更加广泛。在他一生中的最后十几年间，他对数学的所有分支，包括机械、物理和天文，写出了500多篇论文。这些著作中许多是长篇专著。
大数学家的声誉和其他大人物一样，受到同样的盛衰荣辱的支配。因为柯西在他去世很久以后——甚至今天——都由于生产过多和写作过快而受到严厉的批评。他的全部作品是789篇论文。如果一个人除了一些质量不高的作品以外，写出了大量第一流的著作，这类批评看来当然是不恰当的，而且这类批评通常是那些自己写得比较少，而这少量作品也没有什么创新的人提出的。自从他去世以来，特别是近几十年来，柯西作为一个数学家的声誉已经稳定地上升。他所引进的方法，他的开创现代严格性第一时期的整个计划，还有他那几乎无与伦比的创造力，都在数学上留下了印记。而这种印记，就我们现在所能明白的，是在今后许多年注定都会看得见的。
在柯西作出的大量新东西中，可以提出一个显然并不重要的细节，以说明他的远见卓识。柯西不用“想象的”i，而提出用模i^2＋1的同余，来完成数学中的所有复数的运算。这是在1847年作出的。这篇论文没有引起什么注意。然而它却是行将变革某些数学基本概念的某种东西（克罗内克计划）的萌芽。
1857年5月23日，柯西68岁时出乎意料地去世了。他去世前几小时，还在热心地和巴黎大主教就他考虑到的慈善工作进行热烈的谈话——慈善事业是柯西毕生关心的事业之一。他最后的话是对大主教说的：“人们走了，但他们的功绩留下了。”