关于欧拉公式，我写了很多文章，但这是一个百谈不厌的话题，因为它确实太美丽，太吸引人了。一个只有四个字符的等式，包含的信息量是惊人的，并且意义也非常深刻。这篇文章，我们将一起看看欧拉公式是如何扩展e的定义的。

很多人第一次看到这个公式都会感到震惊。为什么这个等式可以成立？这几乎就是复数的定义，我们可以这样写：

它扩展了e的定义，使之对复数有意义，同时对实数仍然有意义。首先，让我们先理解方程的右边，它与初级几何学有很好的联系。

复数的可视化

我们可以把复数看作二维平面上的一个点，用半径和角度来描述，或者用x坐标和y坐标来定义。Y轴对应的是 "虚轴"，X轴对应的是 "实轴"。所以点（2,3）对应于2+3i，其中i是-1的平方根。

两个复数相加对应的只是将它们的实部和虚部相加。例如，（2+3i）+（1+5i）=（3+8i）。

复数的乘法可以用一种有趣的方式来形象化：它对应于旋转和半径的变化。在这里，-1的平方根是完全有意义的，因为我们已经扩展了乘法的定义。点i的角是90度，长度是1。所以，当点z乘以i时，相当于将点z旋转90度，并将长度扩大1倍。当然，半径乘以1还是不变的。如果用2i乘以z，它就会旋转90度，向外拉伸2倍。

现在，我们做一件有趣的事情，把定义在实数上的e的规则也用在复数上，看看会发生什么！让我们把两个数字相乘。然而，我们做的事情有点奇怪。我们把复数写成下面的形式：

z_1是蓝色的线，角度和半径较大，z_2是红色的线，角度和半径较小。

现在我们将它们相乘，同时显示出视觉上和代数上的情况。

可视化复数乘法

从视觉上看，当我们把红线和蓝线（或 "向量"）"相乘 "时，会得到紫色的线。

在复数乘法中，我们将角度相加，并将半径相乘。紫线的角度是红线的角度和蓝线的角度之和。紫色线的长度是红色线的长度与蓝色线的长度的乘积。

现在让我们直观地看看，当旋转红线时，紫线会发生什么变化。下图显示，它的长度保持不变，但紫线的旋转量与红线的旋转量相同。

现在，让我们用一些代数来正式说明这一点：

我们看到有两个e乘在一起，对于实数：

所以我们试试用同样的规则来处理复数（还没有正式证明）。对复数使用同样的规则：

所以总的来说，我们得到了这个结果：

因此，在代数上我们得到了我们所看到的视觉效果！为了算出两个复数的乘积，我们把它们的角度相加，再乘以它们的半径。

e，sin，cos

现在我们来看看我们是如何写复数的。我们可以用实部和复部来表达，也可以用半径和角度来表达。我们如何将这两者联系起来呢？

我们先写z = x + iy

现在，看看这两种表示方法。

用两种方式表示一个复数

左边的图片是把复数写成实部和虚部之和。右边的图片，用三角函数的定义将其转换为用cos和sin来写这两个部分。

这看起来很简单。现在，神奇的一幕出现了。

这就是欧拉的天才之处。他扩展了e的定义，使之与定义在复数上的运算自然地配合。(如果你学习了关于幂级数的课程，就会更加明白他的想法有多么不可思议）。

数学中最著名的一行

现在，我们来看一下数学中最著名的一行文字（符号）：

让我们用我们的新工具来解读它：

这个公式突出了欧拉在e和复数之间的联系之美，但实际上，一旦我们理解了定义和符号，就不会觉得那么复杂了。我们所做的只是将一个数字从半径和角度的表示转换为实部+虚部的表示。

故事并没有到此结束。这个公式暗示了复数世界将是多么的神奇。然而，直到19世纪，数学家（特别是柯西和黎曼）才揭开了复数中微积分的秘密。

幂级数，以及扩展 "e "的定义

幂级数提供了一个很好的方法来扩展e、sin和cos的定义，从它们作为实数到实数的函数的定义，扩展到它们在复平面上的定义。

这表明欧拉的定义确实与实数的定义完美地结合在一起。

e^x、sin(x)和cos(x)都可以被定义为一个幂级数。

这意味着，对于每一个点x，这些函数的值都可以通过上面的无限级数来估算。

现在，回想一下，i^2=-1，是我们研究复数的开端。那么我们为什么不试试下面的方法呢？

我们需要简化i的所有幂：

这个规律会重复出现。例如：

所以我们要进行化简：

现在我们把实部和虚部分开：

记得sin和cos的幂级数定义吗？如果我再写几个术语，你就会想起我在本节开始时写的幂级数。

我再给你最后一次机会来发现它：

太神奇了！！

事实证明，有了我们对i的定义，有了我们对cos、sin和e的幂级数定义，这个公式就非常合理了。复数乘法的几何定义不仅看起来很酷，而且惊人地将e的值与cos和sin联系起来。

最后

谁能想到呢! 希腊人创造的描述圆上坐标的函数（cos和sin）与e有神秘的联系，一旦我们把数字扩展到包括负1的平方根，它就会向自身微分。

这是个奇妙的世界。