首先，需要纠正一下题主的问题，陈景润根本就没有证明“1+2=3”，而且这个公式也不需要证明，因为这是始终成立的恒等式，这是数学公理。
事实上，数学家陈景润所证明的是“1+2”。那么，“1+2”是什么意思呢？
关于“1+2”的含义，就需要说到数学上一个至今悬而未解的难题——哥德巴赫猜想。在18世纪，数学家哥德巴赫提出了一个有关整数分拆的问题，他写信向大名鼎鼎的欧拉寻求证明。
欧拉把哥德巴赫当年提出的猜想改写成我们现在所熟知的形式：
对于任意一个比2大的偶数，它能够拆分成两个质数之和（可以有多种拆分方式），这就是所谓的“1+1”。
对于较小的偶数，可以很容易列出公式，符合哥德巴赫猜想，举两个具体例子：
14=3+11=7+7
100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53
上图为把偶数（从4到100万）拆分成两个质数之和的方法数量
然而，要证明所有偶数是否符合这一规律十分困难。虽然欧拉认为这个猜想可能是正确的，但就连他这样的大数学家都没能解答哥德巴赫猜想。时至今日，在哥德巴赫猜想提出将近300年之后，这仍然是未解的难题。
既然无法一步到位证明哥德巴赫猜想，数学家采取迂回的方法，希望能够逐步接近哥德巴赫猜想。此前，数学家逐步证明了“9+9”、“5+5”、“3+3”、“1+4”（由我国数学家王元证明）、“1+3”。目前，最接近哥德巴赫猜想的证明是由我国数学家陈景润在上个世纪60年代独自完成的。
上图为陈景润的草稿纸
通过数论中的加权筛法，陈景润证明，任意一个充分大的偶数都能够拆分为1个质数和1个自然数之和，而这个自然数是一个殆质数，它等于两个质数的乘积，结果可以表示为：大偶数=质数+质数×质数，这就是所谓的“1+2”，也被称为陈氏定理。
那么，接下来完全证明哥德巴赫猜想是否就是水到渠成的事情呢？
绝大部分数学家认为，陈景润所用的筛法已经达到了极限，以此为基础，几乎不可能证明出哥德巴赫猜想。为了证明“1+1”，或许需要大幅改进目前的方法，或者需要全新的数学方法。