看见那些“没看见”的……
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张宏伟，北京全景化研究中心负责人，南京赫贤学校学术总监，北京市特级教师，全国十大魅力教师。
本文来源于张宏伟第七届中国创新年会演讲稿，经编辑后发表于《中国教师报》。
01
我们只看见最后筛选出、所谓最优的、单一的数学，没看见别样的数学、完整的数学、丰富多彩的数学
我想和在场老师一起从一道题开始，看看教材当中通常没看见的学习内容、方式、过程等。
笔算两位数乘以两位数，我们通常看见的是“从个位算起”的竖式；
但我们学生看见了第2种从高位算起的算法，避免了进位的错误和麻烦。
我的学生还创造了从个位算起，也不进位的第3种算法；
看见了第4种——画线算，划线也能划出两位数乘以两位数的结果；
看见了第5种，十字相乘法，它适用于所有的两位数乘以两位数；
看见了第6种，格子算也叫铺地锦。
还看见了第7种，据说流传于两河流域的面积算；
还看见了第8种，印度还可以这样算——
这些“数学”，原来你可曾看见？以上的8种都是外来的算法，那我们的祖宗到底怎么算呢？
在唐宋及以前，我们是筹算。这就是38×76在唐宋之前的筹算过程。
原来我们只看见最后筛选出、所谓最优的、单一的数学，没看见别样的数学、完整的数学、丰富多彩的数学。
我们可以自问追问，仅仅我们的数学是这个样子吗？我们的语文、科学、生物等等是不是也是这样？
在小学，这样的四边形，教材上你看不见的。
当然这样的四边形是更看不见的。
这样的对称没看见。
这样的解方程组没看见。
这样的算除法，没看见。
这些都是在通常的教材和教学中，我们没看见的内容；其实，不止于内容，我们没看见的还有很多方面……
02
很多数学，我们只看见它的现在，没看见它的历史和本源
我们认识毫米、厘米、线段、闰年、函数等概念，但是你知道毫米为什么叫毫米吗？你知道闰年为什么叫闰年吗？你知道函数为什么用了这个“函”字吗？不知道。
我们的学生用汉语词典自学，他们查到，“毫”第5个意思是（某些计量单位的）千分之一，原来毫米就是千分之一米，毫升就是千分之一升，毫安就是千分之一安。
我们的孩子查到“厘”的第一个意向就是（某些计量单位的）百分之一，不言自明，百分之一米。闰年的“闰”字本意是余数，原来闰年就是有多余的那一天的那一年。
函数源自于清朝的李善兰，含就是含的通假字，原来：函数就是含数，一个式子当中含有一个变数（变量、变化的元素）它就叫函数。
式子sinα，α是一个变数，所以这个式子是函数。因为它是研究三角形的，所以它叫三角函数。我们都知道正弦的定义是对边和斜边的比值，为什么？很多人都到今天没搞明白，很难理解。
了解一个概念的历史，可以引导我们对问题有更深刻的认识。我们就穿越历史，回到源头来理解它。
几何源于古埃及尼罗河畔的土地测量。
这是一块土地，它的角度是90度，它的边长是1，它的面积是1，那sin 90度就等于1，我们把它挤压成30度，它的面积就会变成1/2，30度的正弦值就是1/2，我们向右把它挤压成150度，它的面积就变成了1/2，它的sin值也是1/2。
原来sin值就是“这块地”的面积，你会发现30度和150度两个补角正弦值完全一样，为什么？面积一样，我们把它几项极端变成0度和180度则成了一条线，它的面积已经是0，所以sin0°和sin180°都等于 0。
回到源头，为什么正弦值是这些？为什么补角的值相同？清清楚楚、明明白白地理解通透。
原来对数学学习而言，文化是根本的教育，历史是最美妙的方法，博古则通今，古往则今来，以文化之则化。
03
很多数学我们往往只看见“这……”，没看见“那……”
品味“周长”西方的单词parimeter，词根pari是“环绕、周围”，meter表示测量、米数，合起来：环绕周围测量米数。中文“周”是“周围、一圈”，长是“长度”，合起来：周围一圈的长度。
品味 “射线”，half-line。Half是半的意思，line是直线的意思，原来射线就是“半直线”。
我们品味一下，小数Decimal中，Deci是十分之一，mal是微小的、不足的，原来Decimal是在诉说：小数是从1开始，十分之一、十分之一地变小……1 0.1 0.01 0.001 0.0001 ……
于是乎全景数学开始引领学生游历中外，博览广采，追根溯源，我们陪着孩子在东西方文化之根中穿行。
04
我们往往只看见了传统的数学，却没有看见非传统的数学、与时俱进的数学
美国的国家科学院院士、当代著名的数学家怀尔德说，研究生阶段的课程一般都是与时俱进的，然而，中小学仍然只在教授着中世纪的数学，直到现在才受到挑战。
全景式数学在大模块整合和节约学时的基础上，基于为孩子身心健康成长，完整认识世界，从孩子“必须”、“能学”且“喜欢”的几项标准下，我们引进了一到六年级的非传统数学内容。分“非欧几何、模糊数学、逻辑初步、运筹初步”四线阶梯式循环推进。
我们让一年级的孩子看见拓扑，二年级看见分形，三年级看见“黎曼”，四年级看见“罗氏”，五年级看见莱洛三角形，六年级看见圆锥和金字塔神奇的51度51秒……
*莱洛三角形：推动平板，下面的三角形晃动幅度非常大，但上面的水杯安然无恙，没有一丝波澜。
我们的学生见过“分形”，便能用“分形”看世界；见过“黎曼”，便能用“黎曼”看世界；见过“拓扑”，便能用“拓扑”看世界……
特别强调的是，补充的这些给孩子“开窗”的内容切忌盲目求全逐新，一定要根据学生的学习实际情况，适度、适时、适量丰富和拓展，要在整合节时、保证高效落实课标规定的基本内容的基础上，科学分析，根据节约出来的课时，确保是学生完整认识世界和完整成长须要、当下能学且喜欢的前提下，科学安排，系统规划，适切设计，量力而行，绝对不能增加学生的课业负担。
05
数学的学，我们往往只看见了常规的学，却没看见不常规的学
常规我们三角形面积的学法，是用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。当时学生就很蒙圈：明明是学一个三角形，为啥要我拿两个？想不明白。
我们的香港特区怎么学呢？拿一个长方形剪出直角三角形：底乘高除以2；平行四边形这样剪，得锐角三角形，这样剪得钝角三角形，因此，所有的三角形面积都是底乘高除以2。多简单！
常规我们教材上都是这样教的，除以一个分数一定是乘以一个分数的倒数，我们只看见了这种算法。台湾同胞的教材是这样的：
你会发现子除以子作子，母除以母作母。还可以先通分，然后用分子直接除以分子，它适用于所有的分数除法。
常规多边形外角和的学法是测量每个外角相加，通常这样证明：
设 n 边形内角为：∠1、∠2、∠3...∠n
对应外角为：180-∠1、180°-∠2…180°-∠n
外角之和为：(180-∠1)+…+(180°-∠n)
= n*180°-(∠1+...+∠n)
= n*180°-(n-2)*180°
= 2*180° = 360°
日本怎么学的？让学生沿着多边形场地开车，孩子就会发现，无论是几边形的场地，每次转动都是一个外角，车子回到原点都刚好转了一圈——360度，学生亲身体验，不证自明！
除了常规学，全景式数学还更多地跨学科学，用文字、文学、文化……演绎数学。
我们在和音中学习“按比例分配”，在杠杆当中学习“乘法口诀”，我们在天文、医学、地理、生物的融合中认识时间。
我们的学生看见一年365天对应人体的365个穴位，12月12星座，12星座正好对应了中国的24节气，看见了12进制，看见了人体的12条经络，看见阴历每月28天、28星宿分东西南北四区，每区7天，这正是星期的由来，7又意味着七窍，意味着和月球的域位关系，更神奇的是：不管是人、狗、犀牛等动物，排尿的时间大都是7的3倍——21秒。
难道只有数学可以这个样子吗？别的学科不可以这样吗？
06
我们往往只看见了数学的精确和综合，却没有看见数学的浪漫
全景式数学主张数学课程和教学要补上浪漫阶段，并创编了浪漫阶段课程，并创编了浪漫阶段的课程。
北师大的刘坚教授在给我新书的作序当中这样评价：如果说迄今为止，我国的小学数学教育还存在什么亟待突破的瓶颈，最大的问题依然是没有充分尊重儿童阶段，尤其是小学发展的浪漫属性，这不仅存在于学校、家长和社会，教育政策的制定者也普遍如此。正因为此，宏伟老师的探索才会更显得珍贵和重要。
07
我们往往只看见了“门内”的数学，却没有看见“找门”的数学
现行教材和教学都是让学生拿等底等高的圆柱和圆锥去研究圆锥体积。学生问：老师，你怎么就知道拿等底等高的圆柱和圆锥去研究呢？请问是你自己想到的吗？
解决这个问题，这才是最关键的第一步：如何让学生自己独立想到用等底等高的圆柱和圆锥去比对，这才是解决问题的起点，是思维的触发和定向阶段，是踢开新问题的第一脚，是独立思考和创新的不二法门。
但是这个关键的法门，我们老师和教材大都直接给了孩子，长此以往……我们的学生面对新问题的时候，才会情不自禁地说，我独立做？——“没门”！
全景式数学变“师父领进门”为“学会自己找到那扇门”。
怎么找门？我们的学习起点与通常的教学完全不同，我们在学生自由猜想之后，启发学生：人类基本的认知规律是用已知探索未知，要研究圆锥这个“未知”，这三种“已知”——长方体、正方体、圆柱体你会选谁？学生自然就会选圆柱。
学生的理由是它与圆锥的相似点多。好，一大堆圆柱，请问你选谁呢？学生肯定说“等底等高”，为什么？因为它们的相似点更多，联系更密切，这是他们自己想到的不是我们给的。
我们补上了“找门”的阶段和策略——用联系的思想，寻找联系最密切的已知去探索未知。而这种思想和方法是更上位的、更一般的、且能有效移植到全新领域中，有助于学生逐渐学会原创性的思考，独立、创造性地解决问题。
不止于此，全景式数学从10个维度完善、完整数学思考课程和思考教学。这是另外几个维度的案例：比如让学生学会如何思考的应用题样本；比如尝试改变孩子传统思维方式的统计与概率样本；为“思”而学的图形与几何样本，还有看见学生超越学科成长的综合与实践样本。
我们做这些样本和探索，目的是什么？我们想努力地让学生自觉的关注和思考自己的思考，看见自己如何思考，看见别人如何思考，学会更好地独立思考、创新和创造。
08
我们往往只看见了学生学习数学的外在，没看见学习数学的内在
全景式数学不仅把情感态度提到了第一位，优先的捍卫儿童对数学、对世界的兴趣、好奇心和信心，更重要的是我们还引进了数学心理、元认知课程，让孩子学会内察、监控和调节自己的学习情感、学习心理以及自己对自己认知的认知。
我们坚信，数学是可以滋养人的——我们能，也应该“让数学学习成为养知、养智、更养心的活动”。我在追问，也在反思。那么我们没看见的只有这八项内容吗？No。只有数学有那么多“没看见”吗？No。
我们的孩子看见了这些“没看见”又是什么感受？我们一起来看看。
*学生的感受
我当时真的是热泪盈眶，听了孩子的话，课后我无限感慨，在教研的时候我是这样说的：当我们老师都不敢越教材雷池一步的时候，我们孩子的数学的眼光能够打开吗？我觉得这个孩子可以震醒我们在座的每一位老师。你语文教材是他的整个的母语世界吗？你认为英语书是他的英语语言的实践吗？你认为科学的教材是他整个的科学世界吗？难道你学校的学科课程就是孩子整个的学习世界吗？
全景视野下的课程和教学就是想让孩子看见不一样的学习，看见完整的教材，看见完整的学科，看见不一样的数学，看见世界的数学，看见更丰富更完整的世界。
因为我们的孩子看见文化才会成为文化的人，看见完整才会成为完整的人，看见世界才会成为世界的人，他看见了未来才会成为未来的人，看见了美好才会成为美好的人……
我们如果要让孩子更多的看见，我们的“教材”就要更多地“看见”，我们的“教学”就要更多地“看见”，我们“成人”就要更多地“看见”，让我们一起努力，重新认识教材，重新认识教学，看见更多、更多地看见……
来源 | 星教师
编辑 | 皮皮兵不皮
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