尽管阿贝尔和许多数学家一样完全缺乏音乐天赋，但如果我把他的创造力和个性与莫扎特相比，我并不觉得荒谬。——菲利克斯·克莱因
尼尔斯·亨里克·阿贝尔（1802-1829）去世时只有26岁。在他短暂的一生中，阿贝尔很大程度上是自学成才的，他对纯数学做出了开创性的贡献，包括代数方程、椭圆函数、椭圆积分、泛函方程、积分变换和级数表示。
阿贝尔在21岁时自学成才，他是第一个完整地证明了五次方程的根是没有一般代数解的，或者任何大于四次的多项式方程的根都没有一般代数解。当时，这个问题已经被讨论了250多年。
22岁时，他还写了一本关于椭圆积分的著作，这为后来的椭圆函数理论奠定了基础。1829年4月6日，26岁的阿贝尔死于肺结核。
令人难以置信的是，在他的一生中，他从未获得过一个永久的教学职位。他靠奖学金、临时教师职位和各种资助人勉强糊口，在他去世时，他正在努力偿还赤贫家庭的债务。最残酷的讽刺是，在他去世还不到两天，奥古斯特·克列尔就来了一封信，宣布他已被任命为柏林大学的教授。
这就是数学界的莫扎特，尼尔斯·亨里克·阿贝尔的故事。
阿贝尔早期生活（1802 - 1821）
虽然阿贝尔一开始是在家上学，但在13岁的时候，他离开家，到克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）的克里斯蒂安尼亚大教堂学校和他的哥哥汉斯一起上学。进入这所学校的正式要求是：
至少十岁
能够展示对历史和地理的洞察力
熟练阅读丹麦语和拉丁语
熟悉四种数学
尽管他是在农村长大的，阿贝尔还是获得了入学资格。他的父亲帮助他找了住房。他的住处包括一个小房间，里面有床、桌子、凳子，可能还有一扇窗户，可以俯瞰马厩院子，马匹和马车在这里来来去去。
阿贝尔十几岁时每周40个小时的学习时间中，有一半以上都用于学习语言。这些课程包括丹麦语，以及现代外语，如德语和法语，当然还有拉丁语。对那个时代任何有抱负的科学家来说，精通这些语言无疑都是至关重要的，因为当时数学的通用语是法语和德语的混合物。
1823年的基督教教堂学校演讲厅
阿贝尔并没有立即爱上数学。然而，到了1818年，一位23岁的新老师伯恩特·迈克尔·霍姆波在阿贝尔的学校教数学，这永远地改变了16岁孩子们的生活。
受自学成才的约瑟夫-路易斯·拉格朗日的启发，霍姆波对声称知道学生学习的最佳方式持谨慎态度，他强调他的学生阅读欧拉的著作并坚持以下原则：
不要一次学习一本书以上，也不要在没读完之前就放弃你选的书
如果你遇到了困难，不要放弃，如果有必要的话，你可以往回走20次，然后让自己去研究另一位数学家的解决方案
跳过那些没有挑战性的部分，了解对你来说新鲜的东西；
反思阅读，特别是作者如何得出解决方案，更重要的是，解决方案导致什么；
研究另一种变换或替换是否会以更好的方式解决它；
读书的时候总是拿着笔，这样你就能算出所有的计算，练习你遇到的所有问题；
列出能让你有机会发展自己理论的科目清单；
1818年，阿贝尔几乎无法证明质数有无穷多个。然而，到了1819年，在新老师的启发下，阿贝尔迅速完成了小学数学的学习。17岁时，他开始接受霍姆波的高等数学私人课程，霍尔姆波帮助他学习欧拉、泊松以及拉格朗日的著作。当1819年夏天学年结束时，霍姆波夸赞阿贝尔是杰出的数学天才。
在1820年阿贝尔毕业的时候，霍姆波已经没有东西可以教他了，正如他的自传作者斯塔豪后来所写：
到18岁时，阿贝尔可能是挪威最博学的数学家了
大学(1821 - 1822)
阿贝尔于1821年进入皇家弗雷德里克大学（即现在的奥斯陆大学），奖学金是由他的赞助人、老师霍尔姆波和他的朋友们为他筹集的。他在那里待了不到一年就在1822年获得了数学学士学位。他的成绩单上数学成绩“异常优异”，其他科目成绩平平。
在他毕业后，没有任何工作或其他收入的前景，阿贝尔处于无家可归的边缘，直到他的前任教授克里斯托弗·汉斯汀和他的妻子约翰娜·伯奇·汉斯汀收留了他。汉斯汀当时是挪威最著名的自然科学家。阿贝尔后来称约翰娜为他的“第二个母亲”。汉斯汀一家为小阿贝尔提供了生活条件。除了给他提供住处和食物，汉斯汀还尽力在欧洲数学界推广阿贝尔的名字。
在他短暂的一生中，阿贝尔得到了许多朋友和赞助人的帮助，尽管他们大多数人并没有理解他工作的重要性和意义，但他们支持了他雄心勃勃的数学事业。
阿贝尔的专业研究生涯始于1823年，他在新成立的《自然科学家杂志》上发表了他的第一个作品。研究了泛函方程。特别是，阿贝尔考虑了一种非常普遍的函数方程：
其中φ，f, F，…为一变量的未知函数，α，β，γ，…是已知的自变量x和y的函数。他的研究是一种消去一变量的未知方程的方法，直到他可以得到一个只有一个未知函数和一个变量的微分方程。本文利用该方法从力学和物理中导出了各种经典方程的泛函方程。
阿贝尔的第二篇论文作为他的第一篇发表在同一期《自然科学家杂志》上，该论文考虑了积分变换，并很可能包含了数学历史上第一个积分方程。正如斯塔豪所写：
在那之前，欧拉在积分微积分中引入了用定积分解微分方程的一般思想，例如通过所谓的拉普拉斯变换和傅里叶，柯西研究了傅里叶变换及其反变换定律。
在第二篇论文中，阿贝尔首先研究了积分方程：
ψ是一个给定函数，s是变量x和n
五次方程（1824）
1824年春，在他的前两篇期刊论文发表之后，阿贝尔的命运终于有所好转。他获得了一笔1500美元的奖学金。
他最著名的研究是，证明了为什么不可能用自由基解出一般的五次方程：一般五次方程的形式是：
据说，早在1821年，阿贝尔就认为他发现了解这个方程的方法，但后来才意识到他的解有一个错误，他后来用这个错误证明了任何解都是不可能的。他首先向拉斯穆森和汉斯汀教授展示了他的解决方案，但两位教授都没有发现任何错误。接下来，他们把这个答案提交给了北欧国家的顶尖数学家卡尔·费迪南德·德根。德根也没有发现任何错误，但仍然对这个答案表示怀疑，不过他指出：
作品展示了一个不寻常的头脑和不寻常的洞察力，即使目标还没有被证明，尤其是对他这个年龄来说。——德根，1821年
尽管德根犹豫着要不要把目前的解决方案提交给英国皇家科学院，但他建议阿贝尔提交一份更详细的说明和一个数字例子，以加强他的论点。
阿贝尔当时肯定不知道的是，意大利数学家保罗·鲁菲尼在1799年、1813年分别发表了一个关于不可能解五次方程的假定证明。然而，鲁菲尼的证明是不完整的，因为他假定（没有证明）一个假设解的根是根的有理函数。阿贝尔的证明确实是从这个假设的证明开始的，也就是方程的根：
的形式
为了完整性，阿贝尔证明了用自由基整体求解五次方程的不可能性，如下：
尽管由于经济原因，这篇论文很可能很少被出售，阿贝尔寄了一些给同事，并最终将这篇论文展示给卡尔·弗里德里希·高斯 。据报道，高斯最初的反应是负面的，因为他相信他可以证明相反的情况。然而，随着时间的推移，高斯也开始相信阿贝尔的证明是正确的。
应用数学的一次失败尝试（1824）
阿贝尔在应用数学方面唯一的成就是他1824年的论文：
Abel, N. H. (1824).Om Maanens Indflydelse paa Pendelens Bevægelse. (“Regarding the Moon’s Influence on the Movement of a Pendulum”).Magazin for Naturvidenskaberne2(2), pp. 143–144.
据说，在汉斯汀教授的鼓励下，阿贝尔接受了一项任务，用一个挂有测量仪器的钟摆来计算月球的引力。因为他是《自然》杂志的编辑，1824年春天，汉斯汀发表了阿贝尔的论文，报告了他的发现。汉斯汀希望这个结果可以作为阿贝尔进入欧洲学术界的引子，他甚至把这个结果寄给了当时担任《天文学》杂志编辑的舒马赫。事实证明，阿贝尔对月球引力的计算是非常错误的（大约是6个数量级），因此舒马赫拒绝发表这篇论文。艾贝尔担心他会把这个错误告诉他的朋友高斯，他感到很尴尬，从此再也没有涉足纯数学以外的话题。
积分方程（1825）
第二年，阿贝尔的第四篇文章发表在《挪威杂志》上：
Abel, N. H. (1825).Det endelige Integral ∑nφx udtrykt ved et enkelt bestemt Integral (“The Integral ∑nφx expressed as a simple definite Integral”).Magazin for Naturvidenskaberne3(2), pp. 182–189.
基于他两年前在同一杂志上发表的第二篇文章的发现，他在1825年发表的论文也讨论了积分方程，特别是公式的推导和推广：
欧洲之行（1825 - 26）
1825年夏天，阿贝尔和另外四位年轻的挪威科学家一起踏上了欧洲之旅。阿贝尔打算参观哥廷根和巴黎的数学中心。最值得注意的是，高斯当时在哥廷根大学任教，他是当时最多产的数学家，也是继欧拉后最伟大的数学家。
在哥本哈根的时候，阿贝尔被他的旅伴说服，一起去了柏林。在那里，他第一次见到了奥古斯特·克列尔，克列尔将他介绍给了柏林的数学界。阿贝尔认识了奥古斯特·克列之后，就给他新创办的杂志写了三篇论文。第一篇为：
Abel, N. H. (1826).Beweis eines Ausdrucks, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist. (“Proof of an expression of which the Binomial Formula is a single case”).Journal für die reine und angewandte Mathematik1, pp. 159–160.
在这篇论文中，阿贝尔给出了牛顿二项式公式的一般且严格的证明：
椭圆函数（1826 - 29）
阿贝尔对该理论的第一个贡献是在巴黎时发表的一篇论文：
Abel, N. H. (1826).Et lidet Bidrag til Læren om adskillige transcendente Functioner (“A Small Contribution to the Teaching of Seperable Transcendental Functions”).Det Kongelige Norske Vitenskabers Selskabs Skrifter2, pp. 177–207.
这篇论文让阿贝尔获得了“椭圆函数理论的创始人”的称号。最重要的工作出现在阿贝尔生前发表的最后两篇论文中：
Abel, N. H. (1827).Recherches sur les fonctions elliptiques (“Research on Elliptic Functions”).Journal für die reine und angevandte Mathematik2, pp. 101–181.
Abel, N. H. (1829). Précis d’une théorie des fonctions elliptiques (“A Precise Theory of Elliptic Functions”). Journal für die reine und angevandte Mathematik 4, pp. 309–348.
在第一篇文章中，Abel通过回顾欧拉、拉格朗日和勒让德关于椭圆积分的主要结果，并通过这个关系定义了函数φα= x
其中c和e是实数。在第二篇论文中，阿贝尔描述了一种将椭圆函数表示为与维尔斯特拉斯函数类似的方法。
对数学的贡献
阿贝尔的职业生涯非常短暂，从1821年进入大学到1829年去世，他的职业生涯只持续了7年。虽然他在他短暂的一生中发表了九篇期刊论文，但他的大部分工作都没有发表。
阿贝尔微分方程恒等式
在阿贝尔1829年发表在《数学杂志》上的论文中，他提出了一个方程，用原微分方程的系数来表示齐次二阶线性常微分方程的两个解的朗斯基行列式。
高阶多项式的代数解
阿贝尔证明了不可能解决比4阶更高的多项式，现在被称为Abel-Ruffini定理，因为它的两个主要贡献者是Abel和Ruffini。
阿贝尔积分
尽管阿贝尔关于不可能解五次方程的结论很著名，但数学家中最著名的还是他对椭圆积分的欧拉加法定理的推广，现在被称为阿贝尔积分。
群论的发明
为了证明五次方程的根没有一般的代数解，阿贝尔（独立于伽罗瓦）发明了后来为人所知的群论。除了伽罗瓦，同一时期的约瑟夫-路易斯·拉格朗日也研究过这个问题。
交换群的定义
也称为交换群是对两个群元素应用群操作的结果不依赖于它们的书写顺序的一个群。也就是说，如果一个群的任意两个元素的xy = yx，则该群是交换的。
椭圆函数
阿贝尔椭圆函数的定义，阿贝尔椭圆函数是一个复变量具有两个周期的全纯函数。
阿贝尔椭圆函数是三角函数的一种推广。具体来说，它们是椭圆积分的反函数，阿贝尔的定义是椭圆函数的第一个建立，随后由卡尔·古斯塔夫·雅可比定义。换句话说，阿贝尔在雅可比之前定义了椭圆函数，但后者的定义后来成为了标准。
阿贝尔函数
阿贝尔函数是在阿贝尔簇上的亚纯函数，因此可以把它看作是n个复变量的周期函数，具有2n个独立周期;同样，它是阿贝尔簇函数域中的一个函数。
最后几年（1827 - 29）
阿贝尔于1827年1月从巴黎回来。在那里，他感染了肺结核。回国后，他在柏林停留，那里给了他一个克列尔杂志的编辑职位，他拒绝了。同年5月，他回到了克里斯蒂安尼亚。尽管他最初在柏林取得了成功，但他并没有在巴黎出版作品，因此无法获得学术职位。因此，他在贫困中度过了余生。
1823年，阿贝尔在克里斯蒂安港海军基地的一场交际舞中遇到了他一生中唯一的伴侣，克里斯汀·坎普。随着故事的发展，两人跳了新舞蹈“华尔兹”，尽管他们都不知道舞步。他们在第二年的圣诞节订婚，也就是1824年。阿贝尔从国外旅行回来，也是在四年后的圣诞节期间，他坐着雪橇来到了克里斯汀住的弗兰德。他在旅途中病得很重，尽管病情有了短暂的好转，但于1828年4月去世，年仅26岁。
他死后两天，巴黎的奥古斯特·克列尔寄来一封信，宣布他已设法为他争取到柏林大学的教授职位，理由是他在克列尔的期刊上发表了一些论文。
遗产
尽管尼尔斯·亨里克·阿贝尔在世时在他的祖国基本上不受欢迎，但他今天被广泛认为是有史以来最伟大的挪威数学家。他在挪威农村长大，当时的挪威还是一个贫穷的国家，他在巴黎和柏林的数学环境中短暂而辉煌的崛起，对于一个到2020年人口不到600万的国家来说，可谓史无前例。
纪念碑竖立在他的记忆已经在奥斯陆皇宫公园,他的房子外面,奥斯陆大学的校园里,在他的家乡Gjerstad他出生的芬兰人øy和更多。挪威的纸币、纪念币、邮票上都有阿贝尔的肖像，月球上的一个陨石坑、一颗小行星和一架飞机上都有阿贝尔的名字。
阿贝尔奖
为了纪念尼尔斯•亨里克•阿贝尔短暂而又多事的一生，挪威政府于2001年宣布，从2002年他逝世200周年开始，每年颁发一个数学奖，以纪念他。