中外数学课比较
（陈老宇谈教育之五）
放寒假前有一天放学，由我负责把我家十岁小朋友接回家。路上小朋友对我说：今天数学作业挺多的，但我想了个提高效率的好办法，就是用iPad上的计算器直接算出答案，这不就又快又好吗？
听她说完，我觉得小朋友第一次说出了“提高效率”这个词儿，让我挺吃惊。而且她对“提高效率”的理解还真准确。现在上四年级的她，作业全是多位数的乘除法，显然，用计算器会更快更准，确实能“提高效率”。而且，小朋友能够认识到：计算器是人类用来进行计算的工具，计算器能够让人类进行的计算变得更轻松，变得又快又好。这难到不是孩子对世界最正确的认识吗？那一瞬间，我决定支持小朋友这个想法。
但是，我马上又有一个直觉：用计算器来做题肯定不符合老师的要求吧？而且，将来在学校考试时没计算器怎么办？我就改变了主意，对小朋友说：你自己用笔算，这能提高你的计算力。但用计算器，就提高不了你的计算力了。你还是按老师的要求，自己拿草稿纸算吧。我可以用手机上的计算器帮你验算一下，看看你的答案对不对……。
结果她说，那算了吧，老师不让我们用计算器检查作业。看来，她对自己的作业做得对错还没有感觉，只希望快点完成。
用了挺长时间，小朋友终于做完了作业。她说：我给你背一首诗吧：
生当作人杰，死亦为鬼雄。至今思陈宇，不肯过江东。
老爷爷呀，你为啥不肯过江东啊？她问完，自己大笑不已。
我被小朋友的问题给难住了。我回答不了，我为什么不肯过江东？我为啥非要死在乌江边上。难道过了江还能没有东山再起的机会吗？
我更回答不了，为什么人类发明了计算器，我们却不让孩子用？不仅不让用。我们还要天天给孩子们出一大堆数学题，让他们费尽心思地算呀算呀算……那些破题，如果让他们用计算器的话，肯定就只用几分钟他们就能全部算完，而且得出非常准确答案。让他们省下点时间去做些他们愿意做的事情不好吗？
于是，我决心探究一下这个问题。这一探究不要紧，结果让我感到很惊奇：
原来，我们中国孩子现在学习的算术，竟然是中国古代流传下来的中华文明的瑰宝。清华大学收藏的战国竹简《算表》（公元前305年），就是我国出土的最早的乘法口诀表。它也是人类历史上最早的十进制乘法表。我国早在两千多年前的计算就达到了如此之高度。当时全球其他国家都远远达不到这个水平。古埃及是用多次累进的加法来求得乘积。古希腊和古巴比伦虽然也发明过乘法表，但是由于非常奇怪地采用了60进位制，因此口诀高达数千项，还涵盖不了乘法计算的全部要求，更不用说记忆了。而中国创造的这套乘法表，采用了十进位制。所以，乘法表同时也是中国率先创造了十进位制的确凿证明。
乘法表又叫九九歌，只有九九八十一项口诀，如果简化和合并一下，最短可以做到只有四十五项口诀，念起来像唱歌一样，特别容易记忆。而且，中国创造的十进位制最符合人类这种生物的特征。每个人都是十个手指头，对不对？难道古希腊人和古巴比伦人是长了60个手指头吗？
乡亲们、同胞们、兄弟姐妹们，这是不是太伟大了？过去我只知道，我们小时候学习的“三人行，必有我师焉”，“有朋自远方来，不亦乐乎”和“吾日三省吾身”是两千多年前我们老祖宗说的话。现在又知道了，连算术都是两千多年前我们老祖宗留下的宝贝。所以，历史学家公认，世界四大古代文明：古埃及、古巴比伦、古印度和古中国，前三个文明都断裂了、失传了、湮灭了。也就是说，现在住在埃及、中东和印度的人们和那三个古文明一点瓜葛联系都没有。只有我们中国、我们中华民族、我们炎黄子孙，我们说的还是老祖宗的话语，读的还是老祖宗的书籍，连用来数数的都还是老祖宗的算法。这是何等让我们自豪和骄傲的事情呀！
上图：清华大学收藏的战国竹简《算表》（公元前305年）
由于没有简洁的、十进位的乘法口诀表，在古代，在除了中国以外的其他国家，计算成了十分困难的问题。别说两千年前，一直到公元十三世纪，在中东和欧洲，一个人如果会演算多位数乘法和除法，那他就被看成是数学家。因为，对那些人来说，那实在太难了！呵呵，所以那时每个学过乘法口诀的中国人，按照当时的世界标准，就都是数学家了。所以，中国曾经是世界上拥有数学家最多的国家。乘法口诀创造了中国特色的“口诀数学”和“记忆数学”，让中国算术至少傲视全球一千年，支撑了整个农耕时代的中国这个东方帝国的巅峰地位。
十三世纪后，中国的算术，包括十进位制和乘法表等向东传入到高丽和日本，向西传入到印度和波斯，随后就传遍了全世界。极大地提高了全球数学和计算水平。
现在，全中国的孩子，你能找到不学习乘法口诀、不背诵九九歌的吗？肯定没有。全中国的孩子都把乘法口诀背得滚瓜烂熟。不但如此，每天还要用这套口诀做大量的习题，还要比比谁做得更快。刷题比赛是所有中国孩子的基本功。所以，中国孩子在全球青少年数学奥林匹克竞赛中往往轻松夺冠。中国拥有的庞大劳动力队伍也是一支基本算术能力最强最高的劳动者大军。
现在大家看得很明白，正是这样一支从小刷题的大军支撑了中国的经济起飞和高速崛起。过去人们喜欢说：中国是靠低成本廉价劳动力打天下！现在想想：很不确切；至少是很不全面。当然，工资低也是吸引全球资本一个条件。但是，比中国工人工资低的还有的是。非洲工资低不低？拉美工资低不低？还有中亚、南亚……等等。工资低、成本低的劳动力世界上多得很。但是，没有受过刷题训练的劳动力，不是好劳动力。受过严格刷题训练的劳动力，才是大规模工业化生产所需要的无价之宝。
中国的乘法表、中国的口诀数学、记忆数学、刷题数学有着这么了不起的丰功伟绩和实际作用，难道不值得全世界尊重、效仿、学习和追随吗？
但是，我在全球检索的结果，竟然发现：许多国家、特别是欧美国家根本就不学我们这一套。最有甚者，就是美国，它居然还在1989年通过了一个教育法令，宣布学校不得强制孩子记忆背诵乘法表。美国的孩子做作业完全可以用电子计算器。不但做作业可以用，考试也可以用。
这就直接导致了美国孩子的个人计算能力普遍非常差。大体上，他们小学五六年级孩子的计算能力，只相当于我们中国孩子二三年级的计算能力。从小看大，美国人成年以后也是这样。许多美国工人离开了计算器就不知道加减乘除怎么做。包括超市的售货员、收银员都是这样。这算是啥子数学基础教育呀？许多美国教育专家承认，在基础数学教育方面美国远远不如中国。
而最最奇怪的就是：他们明知自己不行，明知中国很行，但就是不学，就是不改，而且是死不悔改。他们说，这就是美国最牛逼的地方。我还真不懂……
知道为什么吗？当我再深入地追究下去，才发现：这就是中美两国对世界、对历史、对真相、对真理、对发展、对未来的认识的根本不同。这就是理念、价值、世界观和方法论的根本冲突。我把这种冲突在数学教学方面的表现归纳为以下三点：
第一，重人力还是重工具？
说到底，中国人认为，计算是一种技能，一种本领。美国人认为，计算是一个过程，一个工具。中国人认为，计算能力是每个人行走江湖的武功。美国人认为，计算能力是人追求答案的途径。所以，中国人拼命操练，要把自己练成武林高手。而美国人得偷懒就偷懒，怎么能便捷地得到答案就行了，其他都拉倒吧。数学课最重要的是：让孩子对数、数字和运算规则建立起概念。至于计算的速度、计算的技巧、计算的本领，根本不要求。如果哪个孩子不喜欢、不想练，那就不练吧。反正谁也比不过计算机。就交给计算机算了。美国人认为：能交给工具做的事情，就别再让人来承担了。
我的朋友晔洁同学给我形容：我们是在少林寺训练小和尚。天天起早贪黑、吃苦耐劳，千锤百炼、满身伤痛，最后终于培养出了个个身怀绝技的十三棍僧；我们还指望他们去救唐王呢！人家那边可是武功一点都不学也不练，主要靠打造先进工具和武器。最后，人家来一个人，开了一辆坦克，把少林寺给碾平了。
我听着，感觉似乎是这个意思……
我的朋友马阳同学则是这样说的：中国孩子的运算能力强只是假象，他们是在用至少十二年的时间去重复农耕时代的学习方式，以致大多数人在毕业后不知如何使用工具、改进工具和创造工具来探索未知世界，甚至创造一个新世界。他们最弱的恰恰就是解决真实问题的能力。
第二，重背诵还是重理解？
又有网友给我举了一个完全真实的例子：一位中国青年甲和一位外国青年乙，两人比赛算题的速度。
第一题：6x7=？甲随口而出六七四十二。乙按了几下计算器才得到得数42，乙说：真棒！第二题：5x7=？甲随口而出五七三十五。乙这次按了两遍计算器才说是35，乙惊讶地伸出大拇指说：你们中国人太神了！
网友告诉我：这个例子完全证明了，计算机不如口诀表，中国数学的力量超过了计算机。呵呵，我对这位网友说：非常好！但你想过这后面的道理吗？非常简单：中国的小学生是一定要背乘法口诀的。对于一位数的乘法，实际上就是背下了全部答案。除了像乙这样的呆萌青年，稍有智商的老外都知道用口诀算题的本质，就是把已知问题的答案全部背下来。如果你真的把已知问题的答案全都背下来了，当然你的计算就比计算机还要快。但是，你真的能把世界上所有已知问题的答案全都背下来吗？说到对“世界上所有已知问题的答案”的记忆，你就肯定还是不如计算机了。所以，从本质上，中国教育还是没有走出少林武功的思路。如果你仍然只想让孩子们记住所有已知问题的答案。那么，不好意思，您的教育仍然不是现代教育，而是前现代教育，是农耕教育，是古代教育。
再进一步说：数学真正追求是什么？数学追求的，绝对不是已知问题的答案，而是要寻找未知问题的答案。靠背诵来解决未知问题，肯定是南辕北辙。因为，未知问题没有答案可以背诵。记忆数学和背诵数学更大的问题是把数学这样生动活泼、充满兴味、充满挑战的学科，变成了极其枯燥乏味、充满痛苦折磨、激不起孩子的任何好奇心和求知欲的、最令人厌恶的学科。还极大地误导了孩子对数字、数学和正确数学方法的理解。美国教育界正是出于这一点，才严禁在数学教学中采用背诵的办法。哪怕从表面看，美国的中小学数学教育和亚洲国家、特别是中国的差距很大。但是，到了大学阶段、研究生阶段，亚洲学生、特别是中国学生对数学的理解和欧美学生的差距就被迅速拉开了。当今世界上，最优秀的数学人才几乎全部都集中在欧洲和美国，特别是在美国。第二次世界大战进行时和结束后，世界数学中心从德国转移到了美国，转移到了普林斯顿，就再也没有移动过。
最近三十年来，中国教育的发展不能说不神速；甚至必须说：中国高等教育实现了大跃进。但是，中国大陆再没有出现过能引起世界注目的优秀数学人才。看一看一百年来中国最优秀的数学英杰排行榜：熊庆来（1893-1969）、苏步青（1902-2003）、华罗庚（1910-1985）、陈省身（美籍，1911-2004）、吴文俊（1919-2017）、王浩（美籍，1921-1995）、陈景润（1933-1996）、张广厚（1937-1987）、王选（1937-2006）、杨乐（1939-）、丘成桐（美籍，1949-）……在这张名单中，我有幸认识王选和杨乐两位。对我来说，数学家就是神一样的存在。而现在，请大家睁大眼睛看看：活跃在世界数学舞台上的华人还有谁？我们在陈景润、张广厚离去、杨乐垂老后，后继还有人吗？放眼全球，华裔数学家，硕果仅存的只有丘成桐大师一人。这位在香港长大、美国UCB毕业、普林斯顿高等数学研究所出身的他，几乎成了华人数学界独立支撑的大树。被今天的世界公认为数学皇帝的丘成桐本人对此也非常奇怪。已经超过了七十岁的他说：他在哈佛呆了三十多年，居然没有看到一个数学好的中国学生出现。哪怕他们在小学和中学时似乎数学还不错，而到了美国的大学，他们的数学就根本提不上台面了。前面说了：我们中国曾经是世界上数学家最多的国家。而今天这个国家几乎成了数学家最少的国家。这还不该引起我们警觉吗？这是不是说明了，至少近三十年来，以海量做题、拼命刷题为中心的中国数学教育，非常不成功！非常失败！你天天这么折腾折磨孩子，你培养出啥了？你吃得苦中苦，你没成人上人！方向不对，一笔勾消！
第三，重计算还是重表达？
现在，请大家回忆一下陈老宇公众号的上一篇文章《语文和数学决定孩子一生（陈老宇谈教育之四）》；特别请回忆一下其中提到的“人类不完备定律（陈老宇第三定律）”。因为，这就是我们的初心！
数学是什么？数学是干什么用的？数学是解决人类不完备性的工具。数学是人类用来认识世界、思考世界、探索世界、表达世界的最最重要的工具。这个初心问题就涉及到数学的本质了。数学本质上不是一门关于数字和计算的科学，而是一门关于思考和表达的科学。
让我再引用一下这篇文章中的有关段落：
……人类不完备性3：不是所有可表达的想法都能用数学方式表达出来。
人类不完备定律3是人类不完备定律的顶峰，事实上它隐含地指出了：人类可表达想法的最高表达形式是数学形式。如果你的想法可以用数学模型来表达，并且能够被一定范围内的实践所验证，那么，恭喜你！你就掌握了宇宙中最高级、最深刻、最本质的表达方式。那就是牛顿、爱因斯坦、哥德尔、希尔伯特和冯•诺依曼的表达方式。他们掌握的那种表达方式，是宇宙的方式，是上帝的方式，是主的方式。为什么我们管他们叫牛爷，叫爱神，叫我佛？就是因为他们的那种表达方式揭示了宇宙的秘密，改变了人类的命运。
人类的不完备性普遍存在。对于绝大多数人来说，我们普遍缺乏可表达的思想，普遍缺乏表达自己思想的能力，更普遍缺乏把自己的思想数学化的能力。从根本上说，这些能力的高低几乎是由我们的天性、我们的基因决定的。但是，人类又不甘心、不屈从于命运。人类一直为消除这种不完备性而奋斗着。至少，我们希望能把这种不完备性的影响降到最低。这样，人类就为自己和自己的后代创立了训练和培养人的表达能力的学科：语文和数学。
表达自己的思维和思想，就是语文和数学这两门基础课程的主要作用和基本使命。
请记住：数学不是一门关于计算的学科。更不是一门追求算得快的学科。所有已知的计算问题，都可以由计算机来解决；所有需要算得快的问题，更可以完全交给计算机。中国数学教育把自己的注意力放在了让孩子们练习计算和专攻算得快，是完全走错了路！
我们无数的家长，都曾按照老师的命令、无数次拿着秒表，为孩子计时，看看他（她）能在几分几秒钟内算完一篇60道题的卷子。家长们、老师们，你们认识到了吗？你们是在做完全没有意义的事情！你们是在用错误的方向和错误的方法，去扼杀每一个孩子天生就有的、与生俱来的数学兴趣和数学能力。
数学不是计算，更不是心算。许多著名数学家和朋友们一起吃饭时，朋友们都以为他们的数学家朋友能够马上就心算出AA制每人要交多少钱。而真正数学家这时都是掏出计算器，认真按一遍数字键，然后一脸严肃地告诉大家答案。包括丘成桐都是这样。
那么，什么是数学？数学是人类对未知领域的新认识，对未知问题的新回答，对未知世界的新表达。
现在我举例说明：大家都知道，2020年诺贝尔物理学奖授予了罗杰• 彭罗斯（Roger Penrose，1931-），请注意：他是一位英国数学家。他为什么会获得诺贝尔物理学奖？因为，他用数学表达了人类对宇宙的最新认识。而他的这个数学表达被莱因哈德•根泽尔（Reinhard Genzel，1952-）和安德里亚•盖兹（Andrea Ghez，女，1965-）的观察所证实。具体地说：彭罗斯用严谨的数学方法证明：广义相对论预言了黑洞的形成。而根泽尔和盖兹则发现，银河系中心有一个不可见的、质量极大的致密物体控制着恒星的轨道。超大质量黑洞是目前唯一已知的合理物理解释。其中，彭罗斯获得一半奖金；而根泽尔和盖兹分享另一半。为什么？因为，数学家是大神，他说清楚了世界的真相。当然，两位小朋友也很重要；但他们只是证明了数学家说得对。
上图：（左起：）彭罗斯、根泽尔和盖兹
只有看懂彭罗斯，你才能看懂什么是数学。人类历史已经走到了数学家站在科学的最前沿；只有数学表达才是真正的科学表达；只有数学发现才是真正的科学突破；只有数学飞跃才是真正的科学飞跃。你们还没有感觉到吗？如果你们还没有感觉到，那就是因为你们很少像我一样思考宇宙的根本问题。
宇宙的根本问题是什么？就是宇宙的本质。在远古时代，几乎所有的人都认为，宇宙是神创造的。作为一个生物物种，能有这种认识，已经是非常了不起的飞跃了。认定宇宙是由神创造的这个物种——人类，就脱颖而出，超越了地球上所有其他物种。但是，后来科学出现了，无神论兴起了。真正的无神论者认为，宇宙本身就是神，因为：宇宙制定规则，宇宙创造规律，宇宙决定了所有的一切。那么，宇宙到底又是由什么构成的呢？人类最初的认识是：宇宙由物质构成。这是牛顿时代的认识。人类进一步的认识是：宇宙由能量构成。物质不过是凝结的能量而已。这是爱因斯坦时代的认识。然而，今天，在宇宙最宏观的层面，在宇宙的顶层（银河和星系层面），我们能看到的只是数学。同时，在宇宙最微观的层面，在宇宙的底层（量子层面），我们能看到的，也只是数学。宇宙中的一切存在，最后很可能被证明：就是某种算法、某种算式、某种数学表达式。即：宇宙由数字信息构成。所以，人类即将进入数学家引领的新时代。你们相信吗？
不管你们相信不相信，人类已经进入了信息时代、数字时代、算法时代，也就是数学决定一切的时代。但是，不好意思：中国的数学教育非常落后，中国的数学人才非常缺乏。回到我们的主题：中国数学教育向何处去？
其实，看看数学大神是怎么出现的，就能知道什么样的环境才可能产生出数学人才。比如：彭罗斯是一个刷题的人吗？彭罗斯是从题海战争中拼杀出来的游泳健将吗？完全不是、根本不是！彭罗斯是一位涉猎非常广泛、兴趣非常多样，对世界充满了好奇心和想象力，充满了批判精神和挑战精神的大神。他不仅是一位数学家，同时也是哲学家，再同时他还是物理学家。别忘了，他刚刚获得的是诺贝尔物理学奖，不是数学奖。而物理学只是他的爱好之一。他还喜欢生物科学、神经科学和遗传学；他甚至写过像《皇帝新脑》（我就有一本）那样奇葩的跨行跨界的书（引发了很多讨论甚至批判）。他还会客串娱乐节目，成为娱乐数学的主持人。
彭罗斯在物理学方面最重要的成果，当然是他提出的奇点定理（Singularity Theorem）和彭罗斯过程（Penrose Process），对我们大多数人来说，这两个理论几乎就像是科幻般的存在。但是，奇点定理可不是他最近才提出来的，是在五十多年前就提出了。而且是他和霍金一起完成的。当然，他侧重于研究黑洞的奇点，而霍金侧重于研究宇宙的奇点。彭罗斯这次获奖的理由是：“发现黑洞的形成是广义相对论的有力预测”。颁奖词非常恰如其分，同时又有两位小朋友在银河系发现黑洞的证明。但还是有许多霍金粉丝说：如果霍神活着，会和彭罗斯一起得到这个奖项。我想，确实也有这种可能性。
又扯远了一点点。我想说的是：彭罗斯一直生活在一个自由、多元、发散、宽松，同时又充满了思辨的思考和热烈的讨论的环境中。听听他自己怎么说奇点理论的形成吧：
……那是1964年9月的一天，天气非常晴朗。一直在美国生活和工作的彭罗斯的好友、英国宇宙学家艾弗•罗宾逊（Ivor Robinson）那天突然来找他。他俩每次见面都有说不完的话，特别是对宇宙形成的无穷无尽的争论。俩人边走边侃边说边争……当走到彭罗斯在伦敦伯克贝克学院（Birkbeck College）的办公室旁边时，马路上的红灯突然亮了起来，长长的汽车车流飞驰而过，他俩不得不停止了争论……那一瞬间，宇宙中的一切似乎都安静下来，彭罗斯的思绪飘忽了，它穿越过25亿光年的外太空，到达了一个沸腾的旋转类星体中间，他想象着引力坍缩是如何掌控着将整个星系拉向更深处、更靠近中心的地方，就像一个高速旋转的花样滑冰运动员把手臂拉向身体那样，这个物体在收缩过程中旋转得越来越快。就是这短暂的灵光一闪，给了他一个启示——56年之后，这个启示让他获得了诺贝尔物理学奖。
为什么我们希望深刻改变今天的中国暴烈、强制的教育环境？为什么我们坚决反对中国教育的填鸭模式和集中营模式？为什么我们反对教育军备竞赛？反对教育的剧场效应？反对教育的内卷倾向？道理就是这么直白、这么简单。因为这种教育不但培养不出丘成桐、彭罗斯，这种教育还会毁掉中国无数潜在的丘成桐和彭罗斯。所以，为了孩子、为了中国，为了后代、为了未来，我们需要一个健康的教育环境。
数学是一切科学的基础。数学强，则哲学强、逻辑强、物理强、化学强、生物强、地理强……一切强。反之亦反之，数学弱，则一切弱。不停止刷题数学，不停止记忆数学，不停止背诵数学，不废止题海战术，不废止填鸭战术，中国从此就再培养不出数学人才。只要培养不出数学人才，就不可能培养出中国的牛顿、爱因斯坦和霍金，就不可能培养出中国的哥德尔、冯•诺依曼和普朗克，就不可能真正培养出21世纪的世界级领军人才。就很难实现中华民族的复兴大业和强国大梦……
所以，真希望我们的中、小学数学课的教育教学能走出迷茫，走上健康发展的康庄大道。
(The End)