我们对历年高考数学试卷进行分析和研究,会发现与集合有关的知识点和题型,一直是高考的必考内容,题型、分值和难度基本保持相对稳定,考题注重基础和常规,并适度综合、偶有创新。
集合作为高中数学的基础内容,不管是在哪个省市都属于必考内容,且呈现方式、难度和分值比较稳定,且均以选择或填空题呈现,难度中档偏易,没有太大浮动。高考试题在考查基础的同时不乏创新,宽角度、多视点、有层次地考查了学生对基础知识的理解、掌握和应用。
所有高考数学试卷均考查了集合相关内容,如考查了集合的含义与表示、集合间的基本关系、集合的基本运算。从以上数据不难看出,试题相对集中地考查了集合的基本运算、充分条件与必要条件,这部分内容在课程标准和考试大纲中的要求均是理解或掌握,属基础中的重点。
研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么,注意区分、、{(x,y)|y=f(x)}三者的不同。
集合有关的高考试题分析,典型例题1:
已知集合A=,B=,若A,B中至少有一个不是空集,则a的取值范围是________.
解析:若A,B全为空集,则实数a满足4-4a4a-9,
即1
答案:(-∞,1]∪[3,+∞)
集合有关的高考试题分析,典型例题2:
设全集I=R,已知集合M=,N=.
(1)求(∁IM)∩N;
(2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B=,若B∪A=A,求实数a的取值范围.
解:(1)∵M=={-3},
N=={-3,2},
∴∁IM=,
∴(∁IM)∩N=.
(2)A=(∁IM)∩N=,
∵A∪B=A,
∴B⊆A,
∴B=∅或B=,
当B=∅时,a-1>5-a,
∴a>3;
当B=时,解得a=3,
综上所述,所求a的取值范围为.
集合有关的高考试题分析,典型例题3:
设集合Sn=,若X⊆Sn,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.则S4的所有奇子集的容量之和为________.
解析:∵S4=,
∴X=∅,,,,,,,,,,,,,,,.
其中是奇子集的为X=,,,其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7.
答案:7
集合有关的高考试题分析,典型例题4:
设A是自然数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k²∉A,且√k∉A,那么k是A的一个“酷元”,给定S=,设M⊆S,且集合M中的两个元素都是“酷元”,那么这样的集合M有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
解析:选C 由36-x2>0,解得-6
依题意,可知若k是集合M的“酷元”是指k²与√k都不属于集合M.显然k=0,1都不是“酷元”.
若k=2,则k²=4;若k=4,则√k=2.所以2与4不同时在集合M中,才能成为“酷元”.
显然3与5都是集合S中的“酷元”.
综上,若集合M中的两个元素都是“酷元”,则这两个元素的选择可分为两类:
(1)只选3与5,即M=;
(2)从3与5中任选一个,从2与4中任选一个,即M=或或或.
所以满足条件的集合M共有5个.
集合内容因其独特的工具性阔的包容性备受青睐,经常以此为基础和载体,通过其他知识内容的综合嵌入,整体考查。如在集合部分的考查中结合了函数概念、基本初等函数和不等式等相关内容,这样视角宽泛、内容全面的试题,立意高远,独具特色。
高考重视数学思想方法与知识的融合,数形结合、分类讨论、化归与转化思想的嵌入使题目更具价值。不仅考查了学生对基础知识的理解、运用情况,更考查了学生的能力。如若集合问题借助韦恩图和数轴的优势解答,则会事半功倍。
虽说文理科数学对集合的课程要求和考纲要求相同,但多数省市还是在命题时选择了不同的试题分别考查。
集合问题简单易做,多出现在试卷的前部,常被称作"送分题"。集合试题稳定,主要考查对集合概念的认识、理解水平和对集合知识的应用水平。以教材例、习题为背景的题目层出不穷,重点考查学生的基础。