数学教育
数学教育的
实事求是之道
2021年4月
一、逻辑思维是数学思考之道
时下的教研文章言必谈逻辑思维能力的培养，但是对逻辑思维的话语重复频数太高，惟短缺对这个复合词的实质性思考，更多的是教条性陈述（且有极大可能不是原创）．若分拆成句单个看，句句都正确；但若依文章整体看，则往往给人不知所云之感．这是当前数学教育话语系统的流行病，脱离逻辑议逻辑，自说自话成一统．
常识告诉我们，逻辑作为人的思维或抽象活动的形式与规律，其作用就是规范人们能够用理性的方式进行正确的思考，讲逻辑就是讲因果、讲正确思考，学习数学讲究逻辑思维的意义就在于此．数学的逻辑思维的要求就是能够正确的进行数学思考.
在数学的教与学中，所谓抽象思维能力指的就是逻辑思维能力，二者是同义语，将其割裂为两个独立的核心素养，实在是割裂者未能搞清楚在数学领域这二者的内涵与外延，例如，对所观察的事物进行抽象的目的是为了将感性认识上升为理性认识，即上升为概念性或概括性的认识.
其思考行为的标志就是主动对概念下定义：这个抽象过程实际上就是逻辑思考的过程，这个过程要求主动的抽象行为必须遵循诸如同一律、充足理由律、矛盾律、排中律等逻辑规则，惟如此才是正确的思考或有意义的思维及抽象．这是常识，在任何一本形式逻辑教科书中都可以读到．当然，您若不满足于形式逻辑规则的束缚，还可以进一步接触辩证逻辑的思想方法．
二、数学的抽象与逻辑是同道
数学中的推理论证是家常便饭，有易有难、有初有高．数学（几何）证明题可以考察数学推理能力，初中学生的推理能力不会高，水平差异依教与学的具体状况来划分或评价，尚达不到区分逻辑推理素养水平高低的功能．若不信，请读读福尔摩斯探案集，老福的逻辑推理水平就很高，但显然不是做数学推理题的水平．
区分逻辑推理素养的高低，不单是数学学科在发挥作用，其他的科学，甚至现实生活中可能遇到的问题和困难，也常需要较高水平的逻辑推理去应对，这个素养可不是几道数学题所能界定或划分的，另外，数学中的逻辑素养或推理水平与数学抽象水平是高度一致的，是一回事，二者是合一的；
可以理解为是数学基本素养的特定标志．事实上，各学科（包括语文）都有自己的抽象能力要求以及对逻辑思维能力的诠释，与数学学科的相关表述并不一致，数学学科区别于其他学科的最显著的特点就是：抽象思维能力与逻辑思维能力是合为一体的，是一回事！
三、STEM的数学教育是大道
看了王福政老师的文章《初中数学中考命题案例与分析》，感觉中学生搞数学建模是从解应用题开始的．文中所议的中考题是结果或结论唯一确定的应用题，有可能解法不唯一，但只要结果相同，各种解法一定是相互等价的．
文中提到的所谓的数学建模问题，给出的题设条件详尽具体，结论无他．若是仅仅给出轮滑场地的平台高度和滑道曲线，其他问题由学生提出，那么具有一些物理学知识的中学生就可以结合实验，建立运动员在平台上的初速度、加速度和最远落点之间的数量关系．
于是不同的建模者建立的数量关系很可能不一样，即不同的实验结果、不同的看法导致所建立的数学模型是有差异的，反映了面对同一事物的建模者们的数学看法有可能不同，因此形成了不同的数学结论，这就是许多教师经常挂在嘴头上的“算法多样化”的本源意义．
所以，“数学建模”可以用一句很通俗的表达来说明它是干什么的，即它反映的是“人们对同一事物的数学看法”，现实是：不同的人有可能看法不一样．原因是人们对建模对象本身的看法或认识水平以及自身的数学水平，甚至在根本观点上就存在不同，因此，面对同一问题（可称为开放性问题），采用的观察、实验、数学表达、数学处理以及关联学科等方面，会各有自己的思考或行动路径．
这就是“数学建模”的含义！这告诉我们，仅仅知道的多还不够，仅仅数学水平高也不一定行，最基本的是了解所研究的事物的方方面面乃至各种细节，惟如此，才能为建立可靠的、有价值的“数学模型”奠定基础．
讲了这么多，你可能会问，2个小时的考试能考“数学建模”吗？问得好！显然，这么考顶多考个数学建模的样子，很难考察数学建模的实际能力，基本谈不上考察建模素养，当然，此事也不那么悲观，尚有探索空间.“数学建模”的教育重在过程，其同义语就是“问题解决”，国外对这方面的教育探索和实践有四、五十年的历史，美国将这个事称为STEM，强调M（数学学科）与S（科学学科）、T（技术学科）、E（工程，亦称项目或问题）相交叉，即面对科学、技术、工程学科的学习或探究，强调发挥数学的作用，对此类课程及其考查设计了详尽的评价指标，说白了，不管搞什么，都必须用上数学，这是STEM的要义，相当于我们这儿常挂在嘴头上的数学建模．
这方面的案例有很多，我们自己也在进行有关尝试或实验．有很多教师认为数学公式、定律就是数学模型，这样认识也没错，但这个认识不会带来新知识，反而固化了某些认识的局限性，束缚了学习者的思考空间．例如勾股定理往往被教师讲成了绝对真理，而实际上，在数学中，它是相对真理，适用条件有限，只限于理想的平直空间．搞数学建模活动有助于活化人的观念，免受僵化观念的束缚，的确是增强创新精神的学习之道．
不难发现，数学建模的精神或实质是发现、是解决现实的未曾解决过的问题，创设问题情境的含义就在这里，而不仅仅是用于学习现成知识的举例说明．说“数孛建模”是数学素养的构成也没错，但这样说收窄了其实质性意义，不难了解，这个能力不是必须的，现实中有大量的从事基础数学研究的数学家并不擅此道，也不感兴趣．原因很简单，这个活动涉及知识面广，不独为数学所有，是各学科共用的能力，将其作为人的综合素养的要求似乎更有意义．
说到这儿，你可能会想：“数学建模”可能不像某些数学教学文件或文章所陈述的那样轻松或现成吧！这类素养并非是一、二门课就能造就的，有的数学专业工作者在数学建模上是“白丁”很正常，这种素养，并非数学学科所专能培养的，而是综合性学习的结果，是长期培养形成的，把其喧染为“核心素养”来强调，并不能使其显得更重要，反而会因容易带来某些误解而致使该做的事却被忽略了，不该做的反而做得热火朝天，我想，对基础教育阶段的学生来说，做应用题，经历解决问题的实践过程(STEM)，是非常重要的，是需要摸索或落实的，不能搞大起大落，不能让一些噱头忽悠了.
四、数学教研的直观想象之道
直观是指通过对客观事物的直接接触而获得感性的认识的一种方式．实践表明，直观是获取感．性认识的有效途径．由于感性认识具有感觉、知觉、表象（印象）三种形式，是认识的初级阶段，是理性认识的基础，所以自觉的直观意识是基础教育阶段必须利用的认识过程，是难以省略的认识阶段．但是，运用这个认识方法的目的不是强化直观或固化直观认识能力，而是为了摆脱直观的束缚从而达到抽象认识的水平，目的是培养抽象能力．所以，直观认识的方法虽然重要，但其目的不是强化直观本身，教师对此必须有所认识，摸准育人目标．人的能力发展应该是持续的，不必强化“哺乳期”的某些过渡性能力.
那末“直观想象”是指什么呢？这是一种将抽象具体化或模型化的认识或解决问题的手段，是一种抽象认识的能力，数学课本讲某定理或公式时，总是要列举例1、例2、例3，将对定理的应用直观化、程序化，以方便对定理的理解，增强对抽象关系的想象能力；一个例子不够，再多一些例子，则是一种归纳的思想，告诉你情形1可用、情形2可用，再碰到类似的情形，你就放心用吧！同时，在这个学习过程中，也就对这个定理或公式有了一定的认知水平，这其中也包括了直观想象的本领．
如此看来，直观是感性认识阶段的行为，但直观想象可就是抽象思维能力了，是抽象能力的表现之一．把直观想象和抽象思维搞成并列关系，显露出有的专家缺乏对这些概念和现象的认真思考，在数学教
育上疏于踏实的研究．将以智慧、简明、抽象为基本特征的初等数学搞复杂了，用一堆逻辑上混乱的词组及繁琐的解释把直接了当、简洁明快的数学思想和方法烩成了“八宝粥”，这不应该被提倡．
作为数学教师，研究学生对数学概念或方法的感性认识过程及规律是重要且基本的教学研究，进一步的研究将抽象的认识过程直观化，以利于学生的理解或认识也非常重要．同时，使学生在面对抽象而又复杂的问题时，能够用直观想象的方式直捣龙门、释疑去惑，这也是一种重要数学素养，伟大的数学家华罗庚就擅用此道，这是数学抽象的至高境界，也是人的数学能力的重要指标.
千万别把直观想象束至“核心”高阁，这种本事不是弄个专题就能培养的，而是在长期的数学学习过程中，通过对大量的数学知识的理解和认识过程而形成的，是一种派生能力，不是几节课、几道题的功夫就可以生成的，靠念经不能形成正果，“立竿见影”的盼头在数学学习中毫无意义，吃什么补什么的教育或教学思想是形而上学，不应被提倡．踏踏实实的，以对数学的认识规律来指导数学的学习是教师的教研之道.
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2021
