本文所讲的问题,或许在很多人看来不是问题。但它却被多个物理爱好者反复质疑和讨论,所以还是有写一写的必要。
如下图,一根轻绳绕过轻质动滑轮,滑轮上吊着一个重物,当斜向上拉绳时,滑轮和重物被拉起来了。
图1. 动滑轮示意图
问题:既然绳只能提供沿自身方向的拉力,但滑轮却受到了向上的力,该如何解释这个力?
你可能认为很简单:把滑轮和重物的整体当作质点,按力的合成法则,这个力就是绳的拉力的合力嘛,其值为 ,方向竖直向上。
图2. 力的合成法则
但有很多人对此并不认同:绳明明是沿着切向拉的,滑轮怎么会获得向上的力呢?他们认为:拉力作用在绳上的,没有作用在滑轮上,但滑轮却莫名其妙地获得了一个向上的力,这是为什么呢?
仔细想想,这个问题的确不简单。
按力的合成来分析,虽然结论是对的,但并没有解释滑轮所受的向上的力是如何产生的。
毕竟,力的作用,必须要明确,受力、施力物体是什么?作用点在哪里?
很多人并没有想清楚,他们甚至想当然地认为:滑轮受到了向上的拉力!
但问题是,绳子又没有系在轮子上,它只是绕过滑轮,你说它在拉滑轮?但拉力不是只能沿着绳子的方向吗?
其实,绳子压根没有拉滑轮,实际上,它在压滑轮!
没错,起作用的是绳子对滑轮的压力!压得越厉害,拉得越有力。
是不是有点懵?没关系,继续往后看,你肯定会懂的。
由于绳子和滑轮都是轻质的,因此绳子的拉力大小处处相同,但方向是变化的,它总是沿着所在位置的切线方向,正是这种变化提供了对滑轮的各处的正压力。
如下图所示,绿色粗线代表绕在轮边缘上的绳子,现在取某个点 处的一段微元 来研究,如图中红色粗线所示,它对应的圆心角为 。
图3. 对绳的微元的受力分析
注意,微元 看起来比较长,这是为了看清楚而故意画长了的,其实它无限短,可看作 处的一个点。
现在对 作受力分析,如图3所示。
首先,它受两端的拉力,大小都为 ,方向分别沿 的端点的切向,与 的中点的切向的夹角都为 ;
另外, 还受到轮子给它的正压力 ,方向沿法向往外。
由于是轻绳,其所受法向合外力必为零,即 回想刚才说过的, 其实是一个点,故 无穷小,此时 故所受正压力 即为 根据牛顿第三定律,滑轮也受到来自 同样大小的正压力 ,方向沿法向往内,即将这个正压力除以 ,得绳对滑轮边缘单位长度的正压力,记作 ,即 这是一个定值,故绳对滑轮的正压力是均匀的,它总是等于绳拉力与轮半径的比值。
上面给出的 只是滑轮边任意点的受绳的正压力,其它任意点 也都如此,因此可记作 所有这些正压力沿竖直方向的分量 的总和,就是绳为滑轮提供的竖直方向的力 ,如下图中红色箭头所示。
图4. 滑轮边缘各处的正压力的竖直分力
现在你明白了,动滑轮所受到向上的力 ,是由无数个这样的 积累而成的,它们对应无数个正压力 竖直分量。
将绕滑轮的绳看作对称的两半来算,得 为
当 趋于零时,上式变为积分式 计算得 。
由于 与图1中的 互余,故结论与用力的合成法则得到的结果一致。
到此,关于动滑轮是如何被绳子拉起来的问题,解释完毕。所得结论是:
动滑轮之所以被绳子"拉"起来,并非是拉力直接导致的,而是绳子在所有点的压力的竖直分力的合力造成的。
实际上,不光动滑轮如此,定滑轮,甚至任何被绳子缠绕的物体都是因为受到绳子的压力,才被绳子拉动的。
例如,对定滑轮来说,它受到绳的正压力也满足上述规律,读者可自行分析之。
图5. 定滑轮的情形
很多人以为轻绳只能产生拉力,现在看到,轻绳还可以产生压力。
而既然绳子能产生压力,那么它当然还可以产生摩擦力!
因此,顺着本文所给的正压力的分析结果,你就可以直达摩擦力的规律。它的最终结论由著名数学家欧拉给出,是无数个“欧拉公式”中的一个。